Упр.48.1 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Встретились несколько человек и стали здороваться друг с другом. Рукопожатий было от 60 до 70. Сколько человек встретилось, если известно, что: а) каждый здоровался с каждым; б) только один человек не здоровался ни с кем; в) только двое не поздоровались между собой; г) четверо поздоровались только между собой и остальные поздоровались только между собой?

Пусть $$n$$ — число людей. Тогда число рукопожатий при условии, что каждый здоровался с каждым, равно $$C_n^2=\frac{n(n-1)}{2}.$$

1. Если каждый здоровался с каждым, то

   $$60 \le \frac{n(n-1)}{2} \le 70.$$

   Проверим целые значения $$n$$:

   $$\frac{11\cdot 10}{2}=55,\qquad \frac{12\cdot 11}{2}=66,\qquad \frac{13\cdot 12}{2}=78.$$

   Подходит $$n=12$$.

2. Если один человек ни с кем не здоровался, то число рукопожатий на одно меньше:

   $$60 \le \frac{n(n-1)}{2}-1 \le 70.$$

   Значит,

   $$61 \le \frac{n(n-1)}{2} \le 71.$$

   Проверяем:

   $$\frac{12\cdot 11}{2}=66,$$

   откуда $$n=13$$.

3. Если только двое не поздоровались между собой, то рукопожатий на одно меньше, чем в случае, когда все здоровались со всеми:

   $$60 \le \frac{n(n-1)}{2}-1 \le 70.$$

   Получаем снова

   $$61 \le \frac{n(n-1)}{2} \le 71,$$

   откуда $$n=12$$.

4. Если четверо поздоровались только между собой, а остальные — только между собой, то число рукопожатий равно

   $$C_4^2 + C_{n-4}^2.$$

   Тогда

   $$60 \le C_4^2 + C_{n-4}^2 \le 70.$$

   Подставим:

   $$60 \le \frac{4\cdot 3}{2} + \frac{(n-4)(n-5)}{2} \le 70,$$

   $$60 \le 6 + \frac{(n-4)(n-5)}{2} \le 70,$$

   $$120 \le 12 + (n-4)(n-5) \le 140,$$

   $$108 \le n^2 — 9n \le 128.$$

   Проверка даёт $$n=15$$.

Ответ: а) $$12$$; б) $$13$$; в) $$12$$; г) $$15$$.