Упр.47.3 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

а) Сколько имеется трехзначных чисел, составленных только из четных цифр?
б) Сколько имеется трехзначных чисел, которые не меняются при перемене местами первой и последней цифр?
в) Сколько имеется трехзначных чисел, кратных 5?
г) Сколько имеется трехзначных чисел, которые при перемене местами первой и второй цифр меняются менее чем на 90?

Подробный ответ

а) Первая цифра трёхзначного числа не может быть равна $$0$$, поэтому для неё есть $$4$$ варианта: $$2, 4, 6, 8$$. Для второй и третьей цифр — по $$5$$ вариантов: $$0, 2, 4, 6, 8$$.

Тогда

$$4 \cdot 5 \cdot 5 = 100.$$

б) Чтобы число не менялось при перемене местами первой и последней цифр, первая и третья цифры должны быть одинаковыми. Первая цифра может быть любой от $$1$$ до $$9$$ — $$9$$ вариантов, вторая цифра — любая от $$0$$ до $$9$$ — $$10$$ вариантов.

Тогда

$$9 \cdot 10 = 90.$$

в) Чтобы трёхзначное число делилось на $$5$$, последняя цифра должна быть $$0$$ или $$5$$ — $$2$$ варианта. Первая цифра — любая от $$1$$ до $$9$$ — $$9$$ вариантов, вторая — любая от $$0$$ до $$9$$ — $$10$$ вариантов.

Тогда

$$9 \cdot 10 \cdot 2 = 180.$$

г) Пусть число имеет вид $$x=100a+10b+c,$$ а после перемены первой и второй цифр — вид $$y=100b+10a+c.$$

По условию число меняется менее чем на $$90$$, значит

$$|x-y|<90.$$

Тогда

$$|100a+10b+c-(100b+10a+c)|<90,$$

$$|90(a-b)|<90,$$

$$|a-b|<1.$$

Так как $$a$$ и $$b$$ — цифры, то это возможно только при $$a=b$$. Значит, первая и вторая цифры должны быть одинаковыми.

Первая цифра — $$9$$ вариантов, вторая определяется однозначно, третья — $$10$$ вариантов.

Тогда