Упр.47.20 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. У мамы и папы — один сын. К ним в гости пришла другая семья — мама, папа и дочь. За круглым обеденным столом есть $$6$$ мест. Сколькими способами можно рассадить людей за столом, если: а) место хозяина дома неприкосновенно; б) первыми садятся дети, и они садятся рядом; в) первыми садятся дети, но не рядом друг с другом; г) жёны садятся рядом со своими мужьями?

Рассмотрим каждый пункт отдельно.

1. Место хозяина дома неприкосновенно, значит, остаётся рассадить остальных $$5$$ человек по $$5$$ местам:

   $$5! = 120.$$

2. Первыми садятся дети, и они должны сидеть рядом. Тогда детей можно посадить на соседние места $$6$$ способами, а взрослых рассадить на оставшихся $$4$$ местах:

   $$6 \cdot 4! = 6 \cdot 24 = 144.$$

3. Первыми садятся дети, но не рядом друг с другом. Число способов посадить двух детей на не соседние места круглого стола равно $$9$$, а взрослых на оставшиеся места можно рассадить $$4!$$ способами:

   $$9 \cdot 4! = 9 \cdot 24 = 216.$$

4. Жёны садятся рядом со своими мужьями. Рассмотрим каждую семейную пару как блок. Тогда нужно рассадить $$3$$ блока за круглым столом:

   $$(3-1)! = 2$$

   Внутри каждого блока супруги могут поменяться местами $$2$$ способами, значит:

   $$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16.$$

   Итого:

   $$2 \cdot 16 = 32.$$

Ответ: а) $$120$$; б) $$144$$; в) $$216$$; г) $$32$$.