Упр.47 Повторение ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$x^2-7x+12>0$$; б) $$-x^2+3x+4\geq0$$; в) $$3x^2-4x+1\leq0$$; г) $$-2x^2+x+1<0$$.

а) $$x^2-7x+12>0$$

Найдём корни квадратного трёхчлена:

$$D=7^2-4\cdot 1\cdot 12=49-48=1,$$

$$x_{1,2}=\frac{7\pm 1}{2}.$$

Отсюда $$x_1=3,\quad x_2=4.$$

Тогда

$$x^2-7x+12=(x-3)(x-4),$$

и неравенство принимает вид

$$(x-3)(x-4)>0.$$

Произведение положительно, когда оба множителя одного знака:

$$x<3 \quad \text{или} \quad x>4.$$

Ответ: $$x\in(-\infty;3)\cup(4;+\infty).$$

б) $$-x^2+3x+4\ge 0$$

Умножим неравенство на $$-1$$, изменив знак неравенства:

$$x^2-3x-4\le 0.$$

Найдём корни:

$$D=(-3)^2-4\cdot 1\cdot(-4)=9+16=25,$$

$$x_{1,2}=\frac{3\pm 5}{2}.$$

Получаем:

$$x_1=-1,\quad x_2=4.$$

Тогда

$$x^2-3x-4=(x+1)(x-4),$$

и при $$\le 0$$ решение лежит между корнями, включая их:

$$-1\le x\le 4.$$

Ответ: $$x\in[-1;4].$$

в) $$3x^2-4x+1\le 0$$

Найдём корни:

$$D=(-4)^2-4\cdot 3\cdot 1=16-12=4,$$

$$x_{1,2}=\frac{4\pm 2}{2\cdot 3}.$$

Отсюда

$$x_1=\frac13,\quad x_2=1.$$

Разложим на множители:

$$3x^2-4x+1=3\left(x-\frac13\right)(x-1).$$

Так как коэффициент при $$x^2$$ положительный, то при $$\le 0$$ решение находится между корнями:

$$\frac13\le x\le 1.$$

Ответ: $$x\in\left[\frac13;1\right].$$

г) $$-2x^2+x+1<0$$

Умножим на $$-1$$, изменив знак неравенства:

$$2x^2-x-1>0.$$

Найдём корни:

$$D=(-1)^2-4\cdot 2\cdot(-1)=1+8=9,$$

$$x_{1,2}=\frac{1\pm 3}{4}.$$

Получаем:

$$x_1=-\frac12,\quad x_2=1.$$

Тогда

$$2x^2-x-1=(2x+1)(x-1),$$

и при $$>0$$ произведение положительно вне промежутка между корнями:

$$x<-\frac12 \quad \text{или} \quad x>1.$$

Ответ: $$x\in(-\infty;-\frac12)\cup(1;+\infty).$$