Упр.47.19 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$2{,}66 < 1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\ldots+\frac{1}{n!}$$ при всех $$n\geq 3$$;
   б) $$\frac{1}{24}+\frac{1}{25}+\ldots+\frac{1}{2n}<0{,}125$$ при всех $$n\geq 4$$;
   в) $$1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\ldots+\frac{1}{n!}<3$$ при всех $$n$$;
   г) $$1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\ldots+\frac{1}{n!}<2{,}75$$ при всех $$n$$.

а) При $$n \ge 3$$ правая часть неравенства не убывает, поэтому достаточно проверить значение при $$n=3$$:

$$1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!} =1+1+\frac12+\frac16 =2\frac23 =2{,}666\ldots>2{,}66.$$

Следовательно, $$2{,}66<1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!}$$ при всех $$n\ge 3$$.

б) Рассмотрим сумму

$$\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^5}+\cdots+\frac{1}{2^n}.$$

Это геометрическая прогрессия с первым членом $$b_1=\frac{1}{16}$$ и знаменателем $$q=\frac12$$. Тогда

$$S=\frac{b_1}{1-q} =\frac{1/16}{1-1/2} =\frac{1}{8} =0{,}125.$$

Значит,

$$\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^5}+\cdots+\frac{1}{2^n}<0{,}125$$

при всех $$n\ge 4$$.

в) Из пункта б) и из того, что при $$n\ge 4$$ выполнено $$n!>2^n$$, получаем

$$\frac{1}{n!}<\frac{1}{2^n}.$$

Тогда

$$1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!} < \left(1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}\right) +\left(\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^5}+\cdots+\frac{1}{2^n}\right).$$

Но

$$1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!} =1+1+\frac12+\frac16 =\frac83,$$

а по пункту б)

$$\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^5}+\cdots+\frac{1}{2^n}<\frac18.$$

Следовательно,

$$1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!} <\frac83+\frac18 =\frac{67}{24} <3.$$

Значит, неравенство верно при всех $$n$$.

г) Снова используем оценку $$n!>2^n$$ при $$n\ge 4$$. Тогда

$$\frac{1}{n!}<\frac{1}{2^n}.$$

Разобьём сумму:

$$1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!} < \left(1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\frac{1}{5!}\right) +\left(\frac{1}{2^6}+\frac{1}{2^7}+\cdots+\frac{1}{2^n}\right).$$

Первая скобка равна

$$1+1+\frac12+\frac16+\frac{1}{24}+\frac{1}{120} =\frac{163}{60}.$$

Вторая скобка — геометрическая прогрессия с первым членом $$\frac{1}{2^6}=\frac{1}{64}$$ и знаменателем $$\frac12$$, поэтому

$$\frac{1}{2^6}+\frac{1}{2^7}+\cdots < \frac{1/64}{1-1/2} =\frac{1}{32}.$$

Тогда

$$1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!} < \frac{163}{60}+\frac{1}{32} =\frac{1319}{480} \approx 2{,}748<2{,}75.$$

Следовательно, неравенство верно при всех $$n$$.

Ответ: а) верно при всех $$n\ge 3$$; б) верно при всех $$n\ge 4$$; в) верно при всех $$n$$; г) верно при всех $$n$$.