Упр.47.18 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Докажите неравенство:
   а) $$n!>(n+3)^2$$ при $$n>5$$;
   б) $$n!>(n+2)^3$$ при $$n>6$$;
   в) $$n!>2^n$$ при $$n>4$$;
   г) $$n!>4^n$$ при $$n>9$$.

Докажем каждое неравенство, сравнивая скорости роста левой и правой частей, а затем проверяя первое подходящее значение.

а)

$$\frac{(n+1)!}{n!}=n+1,$$

$$\frac{(n+4)^2}{(n+3)^2}=\left(\frac{n+4}{n+3}\right)^2.$$

Для роста левой части достаточно, чтобы

$$n+1>\left(\frac{n+4}{n+3}\right)^2,$$

то есть

$$(n+1)(n+3)^2>(n+4)^2.$$

Это верно при $$n\ge 1.$$ Проверим при $$n=5$$:

$$5!=120,\qquad (5+3)^2=64.$$

Следовательно, $$5!>(5+3)^2,$$ значит, неравенство верно при всех $$n>5.$$

б)

$$\frac{(n+1)!}{n!}=n+1,$$

$$\frac{(n+3)^3}{(n+2)^3}=\left(\frac{n+3}{n+2}\right)^3.$$

Достаточно, чтобы

$$n+1>\left(\frac{n+3}{n+2}\right)^3,$$

то есть

$$(n+1)(n+2)^3>(n+3)^3.$$

Это верно при $$n\ge 2.$$ Проверим при $$n=6$$:

$$6!=720,\qquad (6+2)^3=512.$$

Значит, $$6!>(6+2)^3,$$ и неравенство доказано при всех $$n>6.$$

в)

$$\frac{(n+1)!}{n!}=n+1,\qquad \frac{2^{n+1}}{2^n}=2.$$

Так как

$$n+1>2 \quad \text{при} \quad n>1,$$

то $$n!$$ растёт быстрее, чем $$2^n.$$ Проверим при $$n=4$$:

$$4!=24,\qquad 2^4=16.$$

Следовательно, $$4!>2^4,$$ значит, неравенство верно при всех $$n>4.$$

г)

$$\frac{(n+1)!}{n!}=n+1,\qquad \frac{4^{n+1}}{4^n}=4.$$

Так как

$$n+1>4 \quad \text{при} \quad n>3,$$

то $$n!$$ растёт быстрее, чем $$4^n.$$ Проверим при $$n=9$$:

$$9!=362880,\qquad 4^9=262144.$$

Следовательно, $$9!>4^9,$$ значит, неравенство верно при всех $$n>9.$$

Ответ

а) $$n!>(n+3)^2$$ при $$n>5$$; б) $$n!>(n+2)^3$$ при $$n>6$$; в) $$n!>2^n$$ при $$n>4$$; г) $$n!>4^n$$ при $$n>9$$.