Упр.47.15 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Докажите тождество:
   а) $$(n+1)!-n!=n\cdot n!$$;
   б) $$(2n+1)!-(2n-1)!\cdot 2n=4n!\cdot(2n-1)!$$.

а) Используем определение факториала:

$$(n+1)!=(n+1)\cdot n!$$

Тогда

$$(n+1)!-n!=(n+1)\cdot n!-n!=n\cdot n!.$$

Тождество доказано.

б) Аналогично, раскроем факториал:

$$(2n+1)!=(2n+1)\cdot 2n\cdot (2n-1)!$$

Тогда

$$(2n+1)!-(2n-1)!\cdot 2n =(2n+1)\cdot 2n\cdot (2n-1)!-2n\cdot (2n-1)!$$

Вынесем общий множитель $$2n\cdot (2n-1)!$$:

$$2n\cdot (2n-1)!\bigl((2n+1)-1\bigr)=2n\cdot (2n-1)!\cdot 2n=4n^2\cdot (2n-1)!.$$

Следовательно,

$$(2n+1)!-(2n-1)!\cdot 2n=4n^2\cdot (2n-1)!.$$

Тождество доказано.