Упр.47.14 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Укажите наибольшее натуральное число $$n$$, для которого:
- $$10!$$ кратно $$2^n$$;
- $$16!$$ кратно $$2^n$$;
- $$26!$$ кратно $$5^n$$;
- $$28!$$ кратно $$3^n$$.
Чтобы произведение было кратно $$a^n$$, нужно взять наибольшее $$n$$, не превосходящее количества множителей $$a$$ в разложении соответствующего факториала.
$$10!$$ кратно $$2^n$$.
В числе $$10!$$ содержится
$$10:2=5,\quad 10:4=2,\quad 10:8=1,$$
значит, всего множителей $$2$$:
$$5+2+1=8.$$
Следовательно, $$n=8$$.
$$16!$$ кратно $$2^n$$.
В числе $$16!$$ содержится
$$16:2=8,\quad 16:4=4,\quad 16:8=2,\quad 16:16=1,$$
значит, всего множителей $$2$$:
$$8+4+2+1=15.$$
Следовательно, $$n=15$$.
$$26!$$ кратно $$5^n$$.
В числе $$26!$$ содержится
$$26:5=5,\quad 26:25=1,$$
значит, всего множителей $$5$$:
$$5+1=6.$$
Следовательно, $$n=6$$.
$$28!$$ кратно $$3^n$$.
В числе $$28!$$ содержится
$$28:3=9,\quad 28:9=3,$$
значит, всего множителей $$3$$:
$$9+3+1=13.$$
Следовательно, $$n=13$$.
Ответ: а) $$8$$; б) $$15$$; в) $$6$$; г) $$13$$.
