Упр.47.13 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Сколькими нулями оканчивается число: а) $$10!$$; б) $$15!$$; в) $$26!$$; г) $$100!$$?

Число оканчивается нулями столько раз, сколько в произведении $$n!$$ содержится множителей $$10=2\cdot 5$$. Так как множителей $$2$$ в факториале всегда больше, чем множителей $$5$$, достаточно посчитать количество пятёрок:

$$\nu_{10}(n!)=\nu_5(n!)$$

где $$\nu_5(n!)$$ — число делителей $$5$$ в разложении $$n!$$.

Считаем для каждого случая:

1. $$10!$$

   $$\left\lfloor \frac{10}{5} \right\rfloor = 2$$

   Значит, $$10!$$ оканчивается на $$2$$ нуля.

2. $$15!$$

   $$\left\lfloor \frac{15}{5} \right\rfloor = 3$$

   Значит, $$15!$$ оканчивается на $$3$$ нуля.

3. $$26!$$

   $$\left\lfloor \frac{26}{5} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{26}{25} \right\rfloor = 5 + 1 = 6$$

   Значит, $$26!$$ оканчивается на $$6$$ нулей.

4. $$100!$$

   $$\left\lfloor \frac{100}{5} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{100}{25} \right\rfloor = 20 + 4 = 24$$

   Значит, $$100!$$ оканчивается на $$24$$ нуля.

Ответ: а) $$2$$; б) $$3$$; в) $$6$$; г) $$24$$.