Упр.46.8 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
- Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $$y=\begin{cases}(x+2)^2-3, & \text{если } x\leq -2,\\x^2-4, & \text{если } x>-2,\end{cases}$$ на отрезках: а) $$[-4;-3]$$; б) $$[0;2]$$; в) $$[-2;3]$$; г) $$[-3;0]$$.
Рассмотрим функцию
$$y=\begin{cases} (x+2)^2-3, & x\le -2,\\ x^2-4, & x>-2. \end{cases}$$
Найдём значения функции в концах отрезков и в возможных критических точках: $$x=-2$$ и $$x=0$$.
а) На отрезке $$[-4;-3]$$
Здесь используется первая ветвь функции:
$$y(-4)=(-4+2)^2-3=4-3=1,$$
$$y(-3)=(-3+2)^2-3=1-3=-2.$$
Следовательно, $$y_{\min}=-2,$$ $$y_{\max}=1.$$
б) На отрезке $$[0;2]$$
Здесь используется вторая ветвь функции:
$$y(0)=0^2-4=-4,$$
$$y(2)=2^2-4=0.$$
Следовательно, $$y_{\min}=-4,$$ $$y_{\max}=0.$$
в) На отрезке $$[-2;3]$$
Проверим точку $$x=-2$$ по первой ветви и точку $$x>-2$$ по второй ветви:
$$y(-2)=(-2+2)^2-3=-3,$$
$$y(0)=0^2-4=-4,$$
$$y(3)=3^2-4=5.$$
Следовательно, $$y_{\min}=-4,$$ $$y_{\max}=5.$$
г) На отрезке $$[-3;0]$$
Снова учитываем обе ветви функции:
$$y(-3)=(-3+2)^2-3=-2,$$
$$y(-2)=(-2+2)^2-3=-3,$$
$$y(0)=0^2-4=-4.$$
Наибольшее значение на этом отрезке не существует, так как в точке $$x=-2$$ функция имеет разрыв и значения по обе стороны от него не образуют единого максимума на всём отрезке.
Итак, $$y_{\min}=-4,$$ $$y_{\max}$$ не существует.
Ответ
а) $$y_{\min}=-2,\ y_{\max}=1$$; б) $$y_{\min}=-4,\ y_{\max}=0$$; в) $$y_{\min}=-4,\ y_{\max}=5$$; г) $$y_{\min}=-4,\ y_{\max}$$ не существует.
