Упр.46.7 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $$y=\begin{cases}-4x+12, & x<2,\\ x^2-2x+2, & x\geqslant 2\end{cases}$$ на отрезке: а) $$[-3;0]$$; б) $$[3;4]$$; в) $$[-1;3]$$; г) $$[1;4]$$.

Рассмотрим функцию

$$y= \begin{cases} -4x+12, & x<2,\\ x^2-2x+2, & x\ge 2. \end{cases}$$

На каждом из отрезков проверим значения функции в концах и в точке смены формулы $$x=2$$, если она принадлежит отрезку.

1. На отрезке $$[-3;0]$$ используется только первая формула:

   $$y(-3)=-4\cdot(-3)+12=24,\qquad y(0)=-4\cdot 0+12=12.$$

   Следовательно, $$y_{\min}=12,$$ $$y_{\max}=24.$$

2. На отрезке $$[3;4]$$ используется только вторая формула:

   $$y(3)=3^2-2\cdot 3+2=5,\qquad y(4)=4^2-2\cdot 4+2=10.$$

   Следовательно, $$y_{\min}=5,$$ $$y_{\max}=10.$$

3. На отрезке $$[-1;3]$$ нужно проверить точки $$x=-1,\;2,\;3.$$

   $$y(-1)=-4\cdot(-1)+12=16,$$

   $$y(2)=2^2-2\cdot 2+2=2,$$

   $$y(3)=3^2-2\cdot 3+2=5.$$

   Следовательно, $$y_{\min}=2,$$ $$y_{\max}=16.$$

4. На отрезке $$[1;4]$$ нужно проверить точки $$x=1,\;2,\;4.$$

   $$y(1)=-4\cdot 1+12=8,$$

   $$y(2)=2^2-2\cdot 2+2=2,$$

   $$y(4)=4^2-2\cdot 4+2=10.$$

   Следовательно, $$y_{\min}=2,$$ $$y_{\max}=10.$$

Ответ: а) $$y_{\min}=12,$$ $$y_{\max}=24$$; б) $$y_{\min}=5,$$ $$y_{\max}=10$$; в) $$y_{\min}=2,$$ $$y_{\max}=16$$; г) $$y_{\min}=2,$$ $$y_{\max}=10$$.