Упр.46.67 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Пусть $$r$$ — радиус основания цилиндра, $$h$$ — его высота. Тогда

$$V=\pi r^2h,\qquad h=\frac{V}{\pi r^2}.$$

Площадь полной поверхности цилиндра:

$$S(r)=2\pi rh+2\pi r^2=2\pi r\cdot \frac{V}{\pi r^2}+2\pi r^2=\frac{2V}{r}+2\pi r^2.$$

Найдём производную:

$$S'(r)=\left(\frac{2V}{r}\right)’+(2\pi r^2)’=-\frac{2V}{r^2}+4\pi r.$$

Для минимума площади нужно, чтобы

$$S'(r)=0,$$

то есть

$$4\pi r-\frac{2V}{r^2}=0.$$

Умножим на $$r^2$$:

$$4\pi r^3-2V=0,$$

$$r^3=\frac{V}{2\pi}.$$

Следовательно,

$$r=\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}.$$

Ответ: $$\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}$$.