Упр.46.66 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
   $$y=\left|\sqrt{2-x^2}-2\right|+\sqrt{2-x^2}-2+2x-x^2.$$
   
   б) Найдите область значений функции
   $$y=\left|\sqrt{8+2x-x^2}-4\right|+\sqrt{8+2x-x^2}+x^3-3x^2-9x.$$

Обозначим $$t=\sqrt{2-x^2}.$$ Тогда $$t\ge 0,$$ а выражение принимает вид

$$y=\lvert t-2\rvert+t-2+2x-x^2.$$

Рассмотрим два случая.

1. Если $$t\ge 2,$$ то $$\lvert t-2\rvert=t-2,$$ и

   $$y=2t-4+2x-x^2.$$

   Но $$t=\sqrt{2-x^2},$$ значит

   $$y=2\sqrt{2-x^2}-4+2x-x^2.$$

2. Если $$0\le t<2,$$ то $$\lvert t-2\rvert=2-t,$$ и

   $$y=2x-x^2.$$

Так как $$2-x^2\ge 0,$$ то $$x\in[-\sqrt2,\sqrt2].$$ На этом промежутке функция

$$2x-x^2=1-(x-1)^2$$

имеет наибольшее значение $$1$$ при $$x=1$$ и наименьшее значение $$2\sqrt2-2$$ при $$x=-\sqrt2.$$

Следовательно, для исходной функции:

• наибольшее значение равно $$1$$;
• наименьшее значение равно $$2\sqrt2-2.$$

Ответ: $$\max y=1,\quad \min y=2\sqrt2-2.$$