Упр.46.64 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Объем цилиндра равен $$V\ \text{м}^3$$. Каким должен быть его радиус, чтобы полная поверхность цилиндра была наименьшей?

Обозначим радиус цилиндра через $$r$$, а высоту через $$h$$. Тогда по условию объём постоянен:

$$V=\pi r^2h,$$

откуда

$$h=\frac{V}{\pi r^2}.$$

Полная поверхность цилиндра равна

$$S=2\pi r^2+2\pi rh.$$

Подставим выражение для $$h$$:

$$S(r)=2\pi r^2+2\pi r\cdot \frac{V}{\pi r^2}=2\pi r^2+\frac{2V}{r}.$$

Найдём минимум функции $$S(r)$$ при $$r>0$$:

$$S'(r)=4\pi r-\frac{2V}{r^2}.$$

При минимуме $$S'(r)=0$$, значит

$$4\pi r-\frac{2V}{r^2}=0,$$

$$4\pi r^3=2V,$$

$$r^3=\frac{V}{2\pi}.$$

Следовательно,

$$r=\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}.$$

Ответ: $$\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}$$.