Упр.46.63 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Периметр осевого сечения цилиндра равен $$p\text{ см}$$. Какова должна быть высота цилиндра, чтобы его объем был наибольшим?

Пусть радиус основания цилиндра равен $$r$$, а высота — $$h$$. Тогда осевое сечение цилиндра — прямоугольник со сторонами $$2r$$ и $$h$$, поэтому его периметр равен

$$2(2r+h)=r_0,$$

где $$r_0$$ — заданный периметр. Отсюда

$$h=\frac{r_0}{2}-2r.$$

Объём цилиндра

$$V=\pi r^2h=\pi r^2\left(\frac{r_0}{2}-2r\right)=\frac{\pi r_0}{2}r^2-2\pi r^3.$$

Найдём максимум функции $$V(r)$$ при $$r>0$$:

$$V'(r)=\pi r(r_0-6r).$$

Критическая точка при

$$r=\frac{r_0}{6}.$$

Тогда

$$h=\frac{r_0}{2}-2\cdot\frac{r_0}{6}=\frac{r_0}{6}.$$

Значит, объём цилиндра будет наибольшим, если его высота равна радиусу основания и составляет одну шестую периметра осевого сечения.

Ответ: $$h=\frac{r_0}{6}$$.