Упр.46.62 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Апофема правильной четырехугольной пирамиды равна $$p$$. При какой высоте пирамиды её объем будет наибольшим?

Пусть $$a$$ — сторона основания, $$h$$ — высота пирамиды, $$r$$ — апофема. Тогда в прямоугольном треугольнике, образованном высотой, половиной стороны основания и апофемой, имеем

$$r^2=h^2+\left(\frac a2\right)^2.$$

Объём правильной четырёхугольной пирамиды равен

$$V=\frac13 a^2h.$$

Из формулы для апофемы выразим $$a^2$$:

$$a^2=4(r^2-h^2).$$

Тогда

$$V(h)=\frac13 \cdot 4(r^2-h^2)h=\frac43(r^2h-h^3).$$

Найдём производную:

$$V'(h)=\frac43(r^2-3h^2).$$

При максимуме объёма

$$V'(h)=0,$$

откуда

$$r^2-3h^2=0,\qquad h=\frac{r}{\sqrt3}.$$

Так как при $$h>0$$ и $$h<r$$ функция сначала возрастает, а затем убывает, найденное значение даёт максимум объёма.

Ответ: $$h=\frac{r}{\sqrt3}.$$