Упр.46.61 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Диагональ боковой грани правильной четырёхугольной призмы равна $$d$$. При какой длине бокового ребра объём призмы будет наибольшим?

Пусть $$a$$ — сторона основания, $$h$$ — боковое ребро призмы. Тогда диагональ боковой грани равна $$d$$, значит

$$a^2+h^2=d^2.$$

Объём призмы

$$V=a^2h.$$

Из условия $$h=\sqrt{d^2-a^2}$$, поэтому

$$V(a)=a^2\sqrt{d^2-a^2}, \qquad 0<a<d.$$

Найдём максимум функции. Удобно рассмотреть квадрат объёма:

$$V^2=a^4(d^2-a^2)=d^2a^4-a^6.$$

Тогда

$$\frac{d}{da}V^2=4d^2a^3-6a^5=2a^3(2d^2-3a^2).$$

Приравниваем производную к нулю:

$$2a^3(2d^2-3a^2)=0 \;\Rightarrow\; a^2=\frac{2d^2}{3}.$$

Следовательно,

$$h^2=d^2-a^2=d^2-\frac{2d^2}{3}=\frac{d^2}{3},$$

то есть

$$h=\frac{d}{\sqrt{3}}.$$

Итак, объём призмы наибольший, когда боковое ребро равно $$\frac{d}{\sqrt{3}}$$.

Ответ

$$h=\frac{d}{\sqrt{3}}.$$