Упр.46.60 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Для перевозки груза требуется изготовить закрытый короб в форме прямоугольного параллелепипеда, стороны основания которого относились бы как $$2:3$$, а объём составлял $$576\ \text{м}^3$$. Каковы должны быть размеры всех его сторон, чтобы полная поверхность была наименьшей?

Обозначим через $$x$$ высоту короба, а стороны основания — $$2a$$ и $$3a$$. Тогда объём равен

$$2a \cdot 3a \cdot x = 576,$$

то есть

$$6a^2x=576,\qquad a^2x=96.$$

Полная поверхность закрытого параллелепипеда:

$$S=2(2a\cdot 3a+2a\cdot x+3a\cdot x)=12a^2+10ax.$$

Из условия $$x=\dfrac{96}{a^2}$$, поэтому

$$S(a)=12a^2+10a\cdot \frac{96}{a^2}=12a^2+\frac{960}{a},\qquad a>0.$$

Найдём минимум функции:

$$S'(a)=24a-\frac{960}{a^2}.$$

Приравниваем производную к нулю:

$$24a-\frac{960}{a^2}=0 \quad \Longrightarrow \quad 24a^3=960 \quad \Longrightarrow \quad a^3=40.$$

Значит,

$$a=\sqrt[3]{40}.$$

Тогда размеры основания:

$$2a=2\sqrt[3]{40},\qquad 3a=3\sqrt[3]{40},$$

а высота

$$x=\frac{96}{a^2}=\frac{96}{\sqrt[3]{40^2}}.$$

Удобнее записать через соотношение из условия минимума: при $$a^3=40$$ получаем

$$x=\frac{96}{40^{2/3}}= \frac{12}{5}\sqrt[3]{40}.$$

Следовательно, размеры короба:

$$2\sqrt[3]{40}\text{ м},\quad 3\sqrt[3]{40}\text{ м},\quad \frac{12}{5}\sqrt[3]{40}\text{ м}.$$

Ответ: $$2\sqrt[3]{40}\text{ м},\ 3\sqrt[3]{40}\text{ м},\ \frac{12}{5}\sqrt[3]{40}\text{ м}.$$