Упр.46.6 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$y=2-3\sin x+4\cos x$$; б) $$y=3\sin x-4\cos x+1$$.

а) $$y=2-3\sin x+4\cos x$$

Представим выражение в виде одной тригонометрической функции:

$$y=2+\sqrt{(-3)^2+4^2}\cos(x+t)=2+5\cos(x+t),$$

где $$t=\arccos\frac45.$$

Так как $$-1\le \cos(x+t)\le 1,$$ то

$$-5\le 5\cos(x+t)\le 5,$$

откуда

$$-3\le 2+5\cos(x+t)\le 7.$$

Следовательно, $$y_{\min}=-3,$$ $$y_{\max}=7.$$

б) $$y=3\sin x-4\cos x+1$$

Аналогично,

$$y=\sqrt{3^2+(-4)^2}\sin(x-t)+1=5\sin(x-t)+1,$$

где $$t=\arccos\frac35.$$

Так как $$-1\le \sin(x-t)\le 1,$$ то

$$-5\le 5\sin(x-t)\le 5,$$

откуда

$$-4\le 5\sin(x-t)+1\le 6.$$

Следовательно, $$y_{\min}=-4,$$ $$y_{\max}=6.$$

Ответ: а) $$y_{\min}=-3,$$ $$y_{\max}=7;$$ б) $$y_{\min}=-4,$$ $$y_{\max}=6.$$