Упр.46.59 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Закрытый металлический бак с квадратным дном должен иметь объем $$343\ \text{м}^3$$. При каких размерах на его изготовление пойдет наименьшее количество материала?

Обозначим сторону квадратного дна бака через $$x$$, а высоту бака — через $$h$$. Тогда по условию объём равен

$$x^2h=343,$$

откуда

$$h=\frac{343}{x^2}.$$

Площадь поверхности закрытого бака состоит из площади дна, крышки и четырёх боковых стенок:

$$S=2x^2+4xh.$$

Подставим выражение для $$h$$:

$$S(x)=2x^2+4x\cdot \frac{343}{x^2}=2x^2+\frac{1372}{x}, \qquad x>0.$$

Найдём минимум функции:

$$S'(x)=4x-\frac{1372}{x^2}.$$

Приравняем производную к нулю:

$$4x-\frac{1372}{x^2}=0,$$

$$4x^3=1372,$$

$$x^3=343,$$

$$x=7.$$

Тогда

$$h=\frac{343}{7^2}=\frac{343}{49}=7.$$

Значит, наименьшее количество материала потребуется при баке в форме куба со стороной $$7$$ м.

Ответ: $$7\text{ м} \times 7\text{ м} \times 7\text{ м}$$.