Упр.46.58 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Открытый металлический бак с квадратным основанием должен вмещать 32 л воды. При каких размерах на его изготовление уйдет наименьшее количество материала?

Обозначим сторону квадратного основания через $$x$$, а высоту бака — через $$h$$.

По условию объём бака равен $$32\text{ л}=32\text{ дм}^3$$, значит

$$x^2h=32.$$

Площадь материала для открытого бака:

$$S=x^2+4xh.$$

Подставим $$h=\dfrac{32}{x^2}$$:

$$S(x)=x^2+4x\cdot \frac{32}{x^2}=x^2+\frac{128}{x}, \qquad x>0.$$

Найдём минимум функции:

$$S'(x)=2x-\frac{128}{x^2}.$$

Приравняем производную к нулю:

$$2x-\frac{128}{x^2}=0 \;\;\Longrightarrow\;\; 2x^3=128 \;\;\Longrightarrow\;\; x^3=64 \;\;\Longrightarrow\;\; x=4.$$

Тогда

$$h=\frac{32}{x^2}=\frac{32}{16}=2.$$

Проверим площадь:

$$S_{\min}=4^2+4\cdot 4\cdot 2=16+32=48\text{ дм}^2.$$

Значит, наименьшее количество материала уйдёт на бак с квадратным основанием со стороной $$4\text{ дм}$$ и высотой $$2\text{ дм}$$.

Ответ

$$4\text{ дм} \times 4\text{ дм}, \quad h=2\text{ дм}.$$