Упр.46.57 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. База находится в лесу в 5 км от дороги, а в 13 км от базы на этой дороге есть железнодорожная станция. Пешеход по дороге идет со скоростью 5 км/ч, а по лесу — 3 км/ч. За какое минимальное время пешеход может добраться от базы до станции?

Обозначим через $$x$$ длину стороны прямоугольника, прилежащую к основанию трапеции. Тогда высота прямоугольника равна $$y$$.

Из подобия соответствующих треугольников получаем:

$$\frac{y}{12}=\frac{24-x}{16}$$

откуда

$$y=\frac{3}{4}(24-x).$$

Площадь прямоугольника:

$$S(x)=xy=x\cdot \frac{3}{4}(24-x)=\frac{3}{4}(24x-x^2).$$

Найдём максимум функции:

$$S'(x)=\frac{3}{4}(24-2x).$$

Приравниваем производную к нулю:

$$\frac{3}{4}(24-2x)=0 \quad \Rightarrow \quad x=12.$$

Тогда

$$y=\frac{3}{4}(24-12)=9,$$

и максимальная площадь равна

$$S_{\max}=12\cdot 9=108.$$

Ответ: $$108$$.