Упр.46.56 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Памятник состоит из статуи и постамента. К памятнику подошёл человек. Верхняя точка памятника находится выше уровня глаз человека на $$a$$ м, а верхняя точка постамента — на $$b$$ м. На каком расстоянии от памятника должен стать человек, чтобы видеть статую под наибольшим углом?

Пусть $$x$$ — угол при основании трапеции, $$0<x\le \frac{\pi}{2}$$. Тогда

$$BH=15\sin x,$$
$$AH=15\cos x,$$
$$PD=15\cos x.$$

Так как трапеция равнобокая, то

$$AD=AH+HP+PD=15\cos x+15+15\cos x=30\cos x+15.$$

Площадь трапеции равна

$$S(x)=\frac12(AD+BC)\cdot BH=\frac12(30\cos x+15+15)\cdot 15\sin x,$$

$$S(x)=225\sin x(1+\cos x).$$

Найдём максимум функции:

$$S'(x)=225\bigl(\cos x(1+\cos x)-\sin^2 x\bigr)=225(2\cos^2 x+\cos x-1).$$

Приравниваем производную к нулю:

$$2\cos^2 x+\cos x-1=0.$$

Положим $$y=\cos x$$. Тогда

$$2y^2+y-1=0,$$

$$D=1+8=9,$$

$$y_1=-1,\qquad y_2=\frac12.$$

На промежутке $$\left(0,\frac{\pi}{2}\right]$$ подходит только

$$\cos x=\frac12,\qquad x=\frac{\pi}{3}.$$

Это точка максимума, значит

$$AD=30\cos\frac{\pi}{3}+15=30\cdot\frac12+15=30.$$

Ответ: $$30\text{ см}$$.