Упр.46.55 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

У пятиугольника $$ABCDE$$ углы $$A$$, $$B$$ и $$E$$ — прямые, $$AB=a$$, $$BC=b$$, $$AE=c$$, $$DE=m$$. Впишите в пятиугольник прямоугольник наибольшей площади, если:

а) $$a=7$$, $$b=9$$, $$c=3$$, $$m=5$$;

б) $$a=7$$, $$b=18$$, $$c=3$$, $$m=1$$.

Рассмотрим расстояние от точки $$A(0;1{,}5)$$ до точки графика $$y=x^2$$. Пусть абсцисса искомой точки равна $$a$$, тогда её ордината

$$y(a)=a^2.$$

Тогда квадрат расстояния равен

$$l^2(a)=(a-0)^2+(a^2-1{,}5)^2 =a^2+a^4-3a^2+2{,}25 =a^4-2a^2+2{,}25.$$

Достаточно найти минимум функции

$$l(a)=\sqrt{a^4-2a^2+2{,}25}.$$

Найдём производную:

$$l'(a)=\left(\sqrt{a^4-2a^2+2{,}25}\right)’ =\frac{4a^3-4a}{2\sqrt{a^4-2a^2+2{,}25}} =\frac{2a^3-2a}{\sqrt{a^4-2a^2+2{,}25}}.$$

Так как знаменатель положителен, знак производной определяется числителем:

$$2a^3-2a=2a(a^2-1)=2a(a-1)(a+1).$$

Отсюда критические точки: $$a=-1,\; a=0,\; a=1.$$

Проверим значения функции в точках минимума:

$$l(-1)=\sqrt{(-1)^4-2\cdot(-1)^2+2{,}25}=\sqrt{1-2+2{,}25}=1{,}5,$$

$$l(1)=\sqrt{1-2+2{,}25}=1{,}5.$$

Соответствующие точки параболы:

$$(-1;1),\quad (1;1).$$

Ответ: $$(-1;1),\ (1;1).$$