Упр.46.54 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Из прямоугольной трапеции с основаниями $$a$$ и $$b$$ и высотой $$h$$ вырезают прямоугольник наибольшей площади. Чему равна эта площадь, если: а) $$a=80$$, $$b=60$$, $$h=100$$; б) $$a=24$$, $$b=8$$, $$h=12$$?

Пусть одна из сторон вырезаемого прямоугольника равна $$x$$. Тогда другая сторона равна разности значений функций, задающих верхнюю и нижнюю границы трапеции, при этом площадь прямоугольника выражается через $$x$$.

Для прямоугольной трапеции с основаниями $$a$$ и $$b$$ и высотой $$h$$ максимальная площадь вырезаемого прямоугольника равна

$$S_{\max}=\frac{h(a+b)^2}{4(a+b)}=\frac{h(a+b)}{4}$$

Но удобнее воспользоваться результатом для каждого случая отдельно.

а)

При $$a=80$$, $$b=60$$, $$h=100$$ получаем

$$S_{\max}=\frac{100\cdot(80+60)}{4}=3500.$$

б)

При $$a=24$$, $$b=8$$, $$h=12$$ получаем

$$S_{\max}=\frac{12\cdot(24+8)}{4}=96.$$

Ответ: а) $$3500$$; б) $$96$$.