Упр.46.52 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) На графике функции $$y=x^2$$ найдите точку $$M$$, ближайшую к точке $$A(0; 1{,}5)$$.
б) На графике функции $$y=\sqrt{x}$$ найдите точку $$M$$, ближайшую к точке $$A(4{,}5; 0)$$.

Обозначим через $$x$$ длину отрезка $$KD$$. Тогда $$0 \le x \le 8$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$PBE$$. Так как $$PB = BE = 3$$, то треугольник $$PBE$$ равнобедренный прямоугольный, значит

$$PE=\sqrt{PB^2+BE^2}=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}.$$

Так как $$KPEM$$ — трапеция, то $$KM \parallel PE$$. Следовательно, треугольник $$KMD$$ тоже прямоугольный равнобедренный, и

$$KM=KD\sqrt{2}=x\sqrt{2}.$$

Проведём диагональ $$BD$$ квадрата. Тогда

$$BD=\sqrt{8^2+8^2}=8\sqrt{2}.$$

Опустим высоту трапеции на диагональ $$BD$$. Получим:

$$BH=\frac{1}{2}PE=\frac{3\sqrt{2}}{2}, \qquad DH_1=\frac{1}{2}KM=\frac{x\sqrt{2}}{2}.$$

Тогда высота трапеции равна

$$HH_1=BD-BH-DH_1=8\sqrt{2}-\frac{3\sqrt{2}}{2}-\frac{x\sqrt{2}}{2}.$$

Площадь трапеции:

$$S(x)=\frac{1}{2}\,HH_1\,(PE+KM) =\frac{1}{2}\left(8\sqrt{2}-\frac{3\sqrt{2}}{2}-\frac{x\sqrt{2}}{2}\right)\left(3\sqrt{2}+x\sqrt{2}\right).$$

Упростим:

$$S(x)=19{,}5+5x-\frac{x^2}{2}.$$

Найдём максимум функции:

$$S'(x)=5-x.$$

$$S'(x)=0 \iff x=5.$$

Так как $$S'(x)>0$$ при $$x<5$$ и $$S'(x)<0$$ при $$x>5$$, то при $$x=5$$ площадь максимальна.

$$S(5)=19{,}5+5\cdot 5-\frac{25}{2}=32.$$

Ответ

$$32\ \text{см}^2$$