Упр.46.51 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Найдите длину отрезка наибольшей длины, который заключён между графиками функций $$y=2x^2$$ (снизу), $$y=4x$$ (сверху) и параллелен оси $$y$$.
б) Найдите длину отрезка наибольшей длины, который заключён между графиками функций $$y=x^2$$ (снизу), $$y=-2x$$ (сверху) и параллелен оси $$y$$.

а) Длина искомого отрезка равна разности ординат графиков при одном и том же значении $$x$$:

$$l(x)=4x-2x^2.$$

Найдём наибольшее значение этой функции. Это парабола, ветви которой направлены вниз, значит максимум достигается в вершине:

$$x=\frac{-b}{2a}=\frac{-4}{2\cdot(-2)}=1.$$

Тогда

$$l_{\max}=4\cdot1-2\cdot1^2=2.$$

Значит, наибольшая длина отрезка равна $$2$$.

б) Аналогично, длина отрезка между графиками равна

$$l(x)=-2x-x^2.$$

Это также парабола, ветви вниз. Найдём вершину:

$$x=\frac{-b}{2a}=\frac{-(-2)}{2\cdot(-1)}=-1.$$

Тогда

$$l_{\max}=-2\cdot(-1)-(-1)^2=2-1=1.$$

Следовательно, наибольшая длина отрезка равна $$1$$.

Ответ: а) $$2$$; б) $$1$$.