Упр.46.50 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) В арифметической прогрессии с разностью $$d$$ девятый член равен 1. При каком значении $$d$$ произведение четвертого, седьмого и восьмого членов прогрессии будет наибольшим?

б) В арифметической прогрессии с разностью $$d$$ второй член равен 6. При каком значении $$d$$ произведение первого, третьего и шестого членов будет наименьшим?

Пусть первый член арифметической прогрессии равен $$a_1$$, а разность — $$d$$.

а) По условию $$a_9=1$$, значит

$$a_1+8d=1,$$

откуда

$$a_1=1-8d.$$

Тогда

$$a_4=a_1+3d=1-5d,$$

$$a_7=a_1+6d=1-2d,$$

$$a_8=a_1+7d=1-d.$$

Искомое произведение:

$$P(d)=(1-5d)(1-2d)(1-d).$$

Раскроем скобки:

$$P(d)=1-8d+17d^2-10d^3.$$

Найдём производную:

$$P'(d)=-8+34d-30d^2.$$

Решим уравнение $$P'(d)=0$$:

$$-8+34d-30d^2=0,$$

$$15d^2-17d+4=0,$$

$$D=17^2-4\cdot 15\cdot 4=289-240=49,$$

$$d=\frac{17\pm 7}{30}.$$

Получаем

$$d=\frac{1}{3} \quad \text{или} \quad d=\frac{4}{5}.$$

Проверим значения произведения:

$$P\!\left(\frac13\right)=\left(1-\frac53\right)\left(1-\frac23\right)\left(1-\frac13\right)=-\frac{4}{27},$$

$$P\!\left(\frac45\right)=\left(1-4\right)\left(1-\frac85\right)\left(1-\frac45\right)=\frac{3}{25}.$$

Наибольшее значение произведения достигается при

$$d=\frac45.$$

б) По условию $$a_2=6$$, значит

$$a_1+d=6,$$

откуда

$$a_1=6-d.$$

Тогда

$$a_3=a_1+2d=6+d,$$

$$a_6=a_1+5d=6+4d.$$

Искомое произведение:

$$Q(d)=(6-d)(6+d)(6+4d).$$

Упростим:

$$Q(d)=(36-d^2)(6+4d)=216+144d-6d^2-4d^3.$$

Найдём производную:

$$Q'(d)=144-12d-12d^2=12(12-d-d^2).$$

Решим уравнение $$Q'(d)=0$$:

$$12-d-d^2=0,$$

$$d^2+d-12=0,$$

$$d=-4 \quad \text{или} \quad d=3.$$

Проверим характер экстремума. При $$d=-4$$ и $$d=3$$ производная меняет знак с минуса на плюс, значит в этих точках достигается минимум. Сравним значения:

$$Q(-4)=(10)(2)(-10)=-200,$$

$$Q(3)=(3)(9)(18)=486.$$

Наименьшее значение произведения достигается при

$$d=-4.$$

Ответ: а) $$\frac45$$; б) $$-4$$.