Упр.46.49 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Сторона квадрата $$ABCD$$ равна $$8$$ см. На сторонах $$AB$$ и $$BC$$ взяты соответственно точки $$P$$ и $$E$$ так, что $$BP=BE=3$$ см. На сторонах $$AD$$ и $$CD$$ берутся точки соответственно $$K$$ и $$M$$ так, что четырёхугольник $$KPEM$$ — трапеция. Чему равна наибольшая площадь такой трапеции?

Обозначим через $$x$$ длину стороны прямоугольника, а через $$y$$ — длину другой стороны. Тогда по условию периметр равен $$200$$:

$$2x+2y=200,$$

откуда

$$y=100-x.$$

Площадь прямоугольника:

$$S(x)=xy=x(100-x)=100x-x^2.$$

Найдём максимум этой функции. Производная:

$$S'(x)=100-2x.$$

Приравниваем к нулю:

$$100-2x=0,$$

$$x=50.$$

Тогда

$$y=100-50=50.$$

Следовательно, наибольшая площадь достигается при квадрате со стороной $$50$$ м.

Ответ: $$50\text{ м} \times 50\text{ м}.$$