Упр.46.48 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Огораживают спортивную площадку прямоугольной формы площадью $$2500\ \text{м}^2$$. Каковы должны быть ее размеры, чтобы на забор ушло наименьшее количество сетки рабицы?

Пусть стороны прямоугольника равны $$x$$ м и $$y$$ м. Тогда при площади $$2500\text{ м}^2$$ имеем

$$xy=2500.$$

Периметр забора

$$P=2x+2y.$$

Выразим $$y$$ через $$x$$:

$$y=\frac{2500}{x}, \qquad x>0.$$

Тогда

$$P(x)=2x+2\cdot \frac{2500}{x}=2x+\frac{5000}{x}.$$

Найдём минимум этой функции:

$$P'(x)=2-\frac{5000}{x^2}.$$

Приравняем производную к нулю:

$$2-\frac{5000}{x^2}=0,$$

$$x^2=2500,$$

$$x=50.$$

Тогда

$$y=\frac{2500}{50}=50.$$

Значит, наименьшее количество сетки потребуется, если площадка будет квадратом.

Ответ: $$50\text{ м} \times 50\text{ м}.$$