Упр.46.47 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Площадь прямоугольника составляет $$16\ \text{см}^2$$. Каковы должны быть его размеры, чтобы периметр прямоугольника был наименьшим?

б) Площадь прямоугольника составляет $$64\ \text{см}^2$$. Каковы должны быть его размеры, чтобы периметр прямоугольника был наименьшим?

Пусть стороны прямоугольника равны $$x$$ и $$y$$, тогда $$xy=16$$, то есть $$y=\frac{16}{x}$$, где $$x>0$$.

Периметр равен

$$P=2(x+y)=2\left(x+\frac{16}{x}\right).$$

Найдём минимум функции $$f(x)=x+\frac{16}{x}$$ при $$x>0$$:

$$f'(x)=1-\frac{16}{x^2}.$$

Приравняем производную к нулю:

$$1-\frac{16}{x^2}=0 \quad \Rightarrow \quad x^2=16 \quad \Rightarrow \quad x=4.$$

Тогда

$$y=\frac{16}{4}=4.$$

Значит, наименьший периметр будет у квадрата со стороной $$4$$ см.

Аналогично для площади $$64$$ см$$^2$$:

$$xy=64,\qquad y=\frac{64}{x},\qquad P=2\left(x+\frac{64}{x}\right).$$

Рассмотрим функцию $$g(x)=x+\frac{64}{x}$$, $$x>0$$.

$$g'(x)=1-\frac{64}{x^2}.$$

$$1-\frac{64}{x^2}=0 \quad \Rightarrow \quad x^2=64 \quad \Rightarrow \quad x=8.$$

Тогда

$$y=\frac{64}{8}=8.$$

Следовательно, и здесь наименьший периметр у квадрата.

Ответ

а) $$4\text{ см}$$ и $$4\text{ см}$$; б) $$8\text{ см}$$ и $$8\text{ см}$$.