Упр.46.45 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Периметр прямоугольника составляет $$56\ \text{см}$$. Каковы его стороны, если этот прямоугольник имеет наибольшую площадь?

б) Периметр прямоугольника составляет $$72\ \text{см}$$. Каковы его стороны, если этот прямоугольник имеет наибольшую площадь?

Пусть стороны прямоугольника равны $$x$$ и $$y$$, тогда при фиксированном периметре

$$2(x+y)=56 \quad \Rightarrow \quad x+y=28.$$

Площадь прямоугольника

$$S=xy=x(28-x)= -x^2+28x.$$

Это квадратичная функция, ветви параболы направлены вниз, значит наибольшее значение площадь принимает в вершине:

$$x=\frac{28}{2}=14.$$

Тогда

$$y=28-14=14.$$

Следовательно, прямоугольник наибольшей площади при данном периметре — квадрат.

Аналогично для периметра $$72$$ см:

$$2(x+y)=72 \quad \Rightarrow \quad x+y=36,$$

$$S=xy=x(36-x)= -x^2+36x.$$

Максимум достигается при

$$x=\frac{36}{2}=18,$$

откуда

$$y=36-18=18.$$

Ответ: а) $$14$$ см и $$14$$ см; б) $$18$$ см и $$18$$ см.