Упр.46.44 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) Представьте число $$3$$ в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы сумма утроенного первого слагаемого и куба второго слагаемого была наименьшей; б) Представьте число $$5$$ в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы произведение первого слагаемого и куба второго слагаемого было наибольшим.

Обозначим первое слагаемое через $$x$$, второе — через $$y$$.

а)

По условию

$$x+y=3,\qquad x>0,\ y>0.$$

Нужно минимизировать сумму

$$f=3x+y^3.$$

Выразим $$y$$ через $$x$$:

$$y=3-x.$$

Тогда

$$f(x)=3x+(3-x)^3,\qquad 0<x<3.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=3-3(3-x)^2.$$

Приравняем к нулю:

$$3-3(3-x)^2=0,$$

$$(3-x)^2=1,$$

$$3-x=1 \quad \text{или} \quad 3-x=-1.$$

Так как $$y=3-x>0$$, получаем только

$$3-x=1,\qquad x=2,\qquad y=1.$$

Проверка: при $$x\to 0+$$ или $$x\to 3-$$ значение $$f(x)$$ больше, значит найденная точка даёт минимум.

б)

По условию

$$x+y=5,\qquad x>0,\ y>0.$$

Нужно максимизировать произведение

$$P=x\cdot y^3.$$

Выразим $$y$$:

$$y=5-x.$$

Тогда

$$P(x)=x(5-x)^3,\qquad 0<x<5.$$

Найдём производную:

$$P'(x)=(5-x)^3-3x(5-x)^2.$$

Вынесем общий множитель:

$$P'(x)=(5-x)^2\bigl((5-x)-3x\bigr)=(5-x)^2(5-4x).$$

Приравняем к нулю:

$$(5-x)^2(5-4x)=0.$$

Так как $$0<x<5$$, то $$5-x\neq 0$$, значит

$$5-4x=0,\qquad x=\frac54.$$

Тогда

$$y=5-\frac54=\frac{15}{4}.$$

Это и есть точка максимума.

Ответ: а) $$2$$ и $$1$$; б) $$\frac54$$ и $$\frac{15}{4}$$.