Упр.46.43 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Известно, что одно из двух чисел на $$36$$ больше другого. Найдите эти числа, если известно, что их произведение принимает наименьшее значение.

б) Известно, что одно из двух чисел меньше другого на $$28$$. Найдите эти числа, если известно, что их произведение принимает наименьшее значение.

Рассмотрим функцию

$$y=\left|\sqrt{8+2x-x^2}-4\right|+\sqrt{8+2x-x^2}+x^3-3x^2-9x.$$

Найдём область определения:

$$8+2x-x^2\ge 0,$$

$$x^2-2x-8\le 0,$$

$$(x-4)(x+2)\le 0,$$

откуда

$$-2\le x\le 4.$$

Так как на этом промежутке

$$\sqrt{8+2x-x^2}\le 4,$$

то

$$\left|\sqrt{8+2x-x^2}-4\right|=4-\sqrt{8+2x-x^2}.$$

Тогда

$$y=4-\sqrt{8+2x-x^2}+\sqrt{8+2x-x^2}+x^3-3x^2-9x,$$

то есть

$$y=x^3-3x^2-9x+4.$$

Найдём производную:

$$y’=3x^2-6x-9=3(x^2-2x-3)=3(x+1)(x-3).$$

Критические точки:

$$x=-1,\quad x=3.$$

Проверим значения функции в концах промежутка и в критических точках:

$$y(-2)=-8-12+18+4=2,$$

$$y(-1)=-1-3+9+4=9,$$

$$y(3)=27-27-27+4=-23,$$

$$y(4)=64-48-36+4=-16.$$

Наименьшее значение функции равно $$-23$$.

Ответ: $$[-23;\,9].$$