Упр.46.46 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Нужно огородить участок прямоугольной формы забором длиной 200 м. Каковы должны быть размеры этого прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?
б) Нужно огородить участок прямоугольной формы забором длиной 240 м. Каковы должны быть размеры этого прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?

Пусть стороны прямоугольника равны $$x$$ и $$y$$, тогда по условию

$$2(x+y)=200,$$

откуда

$$x+y=100,\qquad y=100-x.$$

Площадь прямоугольника

$$S(x)=x\cdot y=x(100-x)=100x-x^2.$$

Это парабола, ветви которой направлены вниз, значит наибольшее значение площадь принимает в вершине:

$$x=\frac{100}{2}=50.$$

Тогда

$$y=100-50=50.$$

Следовательно, наибольшая площадь будет у квадрата со стороной $$50\text{ м}$$.

Аналогично для второго случая:

$$2(x+y)=240,$$

$$x+y=120,\qquad y=120-x.$$

Площадь

$$S(x)=x(120-x)=120x-x^2.$$

Максимум достигается при

$$x=\frac{120}{2}=60,$$

тогда

$$y=120-60=60.$$

Значит, наибольшая площадь будет у квадрата со стороной $$60\text{ м}$$.

Ответ: а) $$50\text{ м} \times 50\text{ м}$$; б) $$60\text{ м} \times 60\text{ м}$$.