Упр.46.42 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Разность двух чисел равна $$10$$. Найдите эти числа, если известно, что их произведение принимает наименьшее значение.
б) Разность двух чисел равна $$98$$. Найдите эти числа, если известно, что их произведение принимает наименьшее значение.

Пусть числа равны $$x$$ и $$x+10$$. Тогда их произведение

$$P(x)=x(x+10)=x^2+10x.$$

Это квадратичная функция, ветви параболы направлены вверх, значит наименьшее значение достигается в вершине:

$$x=-\frac{10}{2}=-5.$$

Тогда второе число:

$$x+10=5.$$

Проверим произведение:

$$(-5)\cdot 5=-25.$$

Значит, при наименьшем произведении числа равны $$-5$$ и $$5$$.

Аналогично для разности $$98$$ пусть числа равны $$x$$ и $$x+98$$. Тогда

$$P(x)=x(x+98)=x^2+98x.$$

Минимум достигается при

$$x=-\frac{98}{2}=-49.$$

Второе число:

$$x+98=49.$$

Их произведение равно

$$(-49)\cdot 49=-2401.$$

Ответ: а) $$-5$$ и $$5$$; б) $$-49$$ и $$49$$.