Упр.46.41 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
- а) Сумма двух целых чисел равна $$24$$. Найдите эти числа, если известно, что их произведение принимает наибольшее значение.
б) Произведение двух положительных чисел равно $$484$$. Найдите эти числа, если известно, что их сумма принимает наименьшее значение.
Пусть первое число равно $$x,$$ тогда второе число равно $$24-x.$$
Их произведение:
$$P=x(24-x)=24x-x^2.$$
Это квадратичная функция, ветви параболы направлены вниз, значит наибольшее значение произведения достигается в вершине:
$$x=\frac{24}{2}=12.$$
Тогда второе число тоже равно $$24-12=12.$$
Проверим: $$12\cdot 12=144.$$
Значит, искомые числа — $$12$$ и $$12.$$
Пусть одно из положительных чисел равно $$x,$$ тогда другое равно $$\frac{484}{x}.$$
Их сумма:
$$S=x+\frac{484}{x}, \quad x>0.$$
По неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим:
$$\frac{x+\frac{484}{x}}{2}\ge \sqrt{x\cdot \frac{484}{x}}=\sqrt{484}=22.$$
Следовательно,
$$x+\frac{484}{x}\ge 44,$$
и равенство достигается при
$$x=\frac{484}{x}, \quad x^2=484, \quad x=22.$$
Тогда второе число тоже равно $$22.$$
Значит, искомые числа — $$22$$ и $$22.$$
Ответ: а) $$12$$ и $$12$$; б) $$22$$ и $$22$$.
