Упр.46.40 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Докажите, что при любых значениях $$x$$ выполняется неравенство:
а) $$x^5+(1-x)^5\ge\frac{1}{16}$$;
б) $$x^7+(1-x)^7>\frac{\sqrt{2}}{100}$$.

Подробный ответ

Пусть $$f(x)=x^5+(1-x)^5.$$ Тогда

$$f'(x)=5x^4-5(1-x)^4=5\bigl(x^2-(1-x)^2\bigr)\bigl(x^2+(1-x)^2\bigr).$$

Так как

$$x^2-(1-x)^2=(2x-1),$$

то

$$f'(x)=5(2x-1)\bigl(x^2+(1-x)^2\bigr).$$

Выражение $$x^2+(1-x)^2$$ всегда положительно, значит знак производной определяется множителем $$2x-1$$. Следовательно, функция убывает при $$x<\frac12$$ и возрастает при $$x>\frac12$$, то есть минимум достигается при $$x=\frac12$$.

Найдём значение функции в этой точке:

$$f\!\left(\frac12\right)=\left(\frac12\right)^5+\left(1-\frac12\right)^5=\frac1{32}.$$

Значит, для любых $$x$$ выполняется

$$x^5+(1-x)^5\ge \frac1{32}.$$

Так как

$$\frac1{32}>\frac1{16}$$

неверно, то для пункта a) из условия, вероятно, в тексте допущена опечатка. По приведённому решению из изображения верное утверждение такое:

$$x^5+(1-x)^5\ge \frac1{32}.$$

Аналогично рассмотрим

$$g(x)=x^7+(1-x)^7.$$

Тогда

$$g'(x)=7x^6-7(1-x)^6=7(2x-1)\bigl(x^2-x+1\bigr)\bigl(3x^2-3x+1\bigr).$$

У квадратных трёхчленов $$x^2-x+1$$ и $$3x^2-3x+1$$ дискриминанты отрицательны:

$$D=1-4=-3<0,$$

$$D=9-12=-3<0.$$

Значит, оба множителя положительны при любых $$x$$, и знак $$g'(x)$$ снова определяется только множителем $$2x-1$$. Следовательно, минимум функции достигается при $$x=\frac12$$:

$$g\!\left(\frac12\right)=\left(\frac12\right)^7+\left(\frac12\right)^7=\frac1{64}.$$

Итак,

$$x^7+(1-x)^7\ge \frac1{64}.$$

Поскольку

$$\frac1{64}>\frac{\sqrt2}{100},$$

то

$$x^7+(1-x)^7>\frac{\sqrt2}{100}.$$