Упр.46.4 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
а) $$y=\sqrt{1+\cos 2x},\quad \left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$$;
б) $$y=\sqrt{1+\sin x},\quad \left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$;
в) $$y=\sqrt{1-\sin 2x},\quad [-0;\pi]$$;
г) $$y=\sqrt{1+\cos 2x},\quad \left[-\frac{\pi}{2};0\right]$$.
a) $$y=\sqrt{1+\cos 2x}$$ на отрезке $$\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$$.
Так как $$-1\le \cos 2x\le 1,$$ то
$$0\le 1+\cos 2x\le 2,$$
следовательно,
$$0\le \sqrt{1+\cos 2x}\le \sqrt{2}.$$
На данном отрезке значения $$\cos 2x$$ принимают и $$-1,$$ и $$1,$$ значит,
$$y_{\min}=0,\qquad y_{\max}=\sqrt{2}.$$
б) $$y=\sqrt{1+\sin x}$$ на отрезке $$\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$.
На этом отрезке $$0\le \sin x\le 1,$$ поэтому
$$1\le 1+\sin x\le 2,$$
откуда
$$1\le \sqrt{1+\sin x}\le \sqrt{2}.$$
Следовательно,
$$y_{\min}=1,\qquad y_{\max}=\sqrt{2}.$$
в) $$y=\sqrt{1-\sin 2x}$$ на отрезке $$\left[0;\pi\right]$$.
Так как $$-1\le \sin 2x\le 1,$$ то
$$0\le 1-\sin 2x\le 2,$$
следовательно,
$$0\le \sqrt{1-\sin 2x}\le \sqrt{2}.$$
Значит,
$$y_{\min}=0,\qquad y_{\max}=\sqrt{2}.$$
г) $$y=\sqrt{1+\cos 2x}$$ на отрезке $$\left[-\frac{\pi}{2};0\right]$$.
На этом отрезке $$-1\le \cos 2x\le 1,$$ поэтому
$$0\le 1+\cos 2x\le 2,$$
и тогда
$$0\le \sqrt{1+\cos 2x}\le \sqrt{2}.$$
Следовательно,
$$y_{\min}=0,\qquad y_{\max}=\sqrt{2}.$$
Ответ
а) $$y_{\min}=0,\ y_{\max}=\sqrt{2}$$; б) $$y_{\min}=1,\ y_{\max}=\sqrt{2}$$; в) $$y_{\min}=0,\ y_{\max}=\sqrt{2}$$; г) $$y_{\min}=0,\ y_{\max}=\sqrt{2}$$.
