Упр.46.39 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) При каком значении параметра $$n$$ сумма квадратов корней уравнения $$x^2 — 2nx + 4n^2 + 3n = 0$$ будет наибольшей? б) При каком значении параметра $$n$$ сумма квадратов корней уравнения $$x^2 + nx + 2n — 1 = 0$$ будет наименьшей?

Для квадратного уравнения $$x^2+px+q=0$$ с корнями $$x_1$$ и $$x_2$$ имеем

$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=p^2-2q.$$

а)

Для уравнения $$x^2-2nx+4n^2+3n=0$$ получаем

$$S=x_1^2+x_2^2=(-2n)^2-2(4n^2+3n)=4n^2-8n^2-6n=-4n^2-6n.$$

Нужно найти наибольшее значение функции $$S(n)=-4n^2-6n$$ при условии существования действительных корней:

$$D=(-2n)^2-4(4n^2+3n)=-12n^2-12n\ge 0,$$

откуда

$$n(n+1)\le 0,\qquad -1\le n\le 0.$$

Функция $$S(n)=-4n^2-6n$$ — парабола, ветви вниз, значит максимум достигается в вершине:

$$n=-\frac{b}{2a}=-\frac{-6}{2\cdot(-4)}=-\frac34.$$

Это значение принадлежит отрезку $$[-1;0]$$, значит оно и даёт наибольшую сумму квадратов корней.

б)

Для уравнения $$x^2+nx+2n-1=0$$ имеем

$$S=x_1^2+x_2^2=n^2-2(2n-1)=n^2-4n+2.$$

Найдём область допустимых значений параметра из условия существования действительных корней:

$$D=n^2-4(2n-1)=n^2-8n+4\ge 0.$$

Решим неравенство:

$$n^2-8n+4\ge 0,$$

$$n\le 4-2\sqrt3 \quad \text{или} \quad n\ge 4+2\sqrt3.$$

Функция $$S(n)=n^2-4n+2$$ — парабола, ветви вверх, её вершина при

$$n=\frac{4}{2}=2,$$

но точка $$n=2$$ не входит в область допустимых значений. Поэтому наименьшее значение на области определения достигается в ближайшей к вершине граничной точке $$n=4-2\sqrt3$$.

Ответ: а) $$n=-\frac34$$; б) $$n=4-2\sqrt3$$.