Упр.46.38 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) При каком значении параметра $$a$$ наименьшее значение функции $$y=x\sqrt{x+a}$$ равно $$-6\sqrt{3}$$?

б) При каком значении параметра $$a$$ наибольшее значение функции $$y=(a-x)\sqrt{x}$$ равно $$10\sqrt{5}$$?

а) Рассмотрим функцию $$y=x\sqrt{x+a}.$$

Найдём производную:

$$y’=\sqrt{x+a}+x\cdot \frac{1}{2\sqrt{x+a}}=\frac{2(x+a)+x}{2\sqrt{x+a}}=\frac{3x+2a}{2\sqrt{x+a}}.$$

Область определения: $$x+a\ge 0,$$ то есть $$x\ge -a.$$

Для точки минимума найдём стационарную точку:

$$3x+2a=0 \quad \Rightarrow \quad x=-\frac{2a}{3}.$$

Тогда

$$y_{\min}=y\!\left(-\frac{2a}{3}\right)=-\frac{2a}{3}\sqrt{-\frac{2a}{3}+a}=-\frac{2a}{3}\sqrt{\frac{a}{3}}.$$

По условию:

$$-\frac{2a}{3}\sqrt{\frac{a}{3}}=-6\sqrt{3}.$$

Возведём в куб обе части после преобразования:

$$\frac{2a}{3}\sqrt{\frac{a}{3}}=6\sqrt{3}$$

$$\frac{4a^2}{9}\cdot \frac{a}{3}=108$$

$$\frac{4a^3}{27}=108$$

$$a^3=729,$$

откуда

$$a=9.$$

б) Рассмотрим функцию $$y=(a-x)\sqrt{x}.$$

Область определения: $$x\ge 0.$$

Найдём производную:

$$y’=-\sqrt{x}+(a-x)\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{-2x+a-x}{2\sqrt{x}}=\frac{a-3x}{2\sqrt{x}}.$$

Стационарная точка:

$$a-3x=0 \quad \Rightarrow \quad x=\frac{a}{3}.$$

Тогда наибольшее значение функции равно

$$y_{\max}=y\!\left(\frac{a}{3}\right)=\left(a-\frac{a}{3}\right)\sqrt{\frac{a}{3}}=\frac{2a}{3}\sqrt{\frac{a}{3}}.$$

По условию:

$$\frac{2a}{3}\sqrt{\frac{a}{3}}=10\sqrt{5}.$$

Возведём в куб:

$$\frac{4a^2}{9}\cdot \frac{a}{3}=500$$

$$\frac{4a^3}{27}=500$$

$$a^3=3375,$$

откуда

$$a=15.$$

Ответ: а) $$a=9$$; б) $$a=15$$.