Упр.46.36 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$y=x\sqrt{x+2}$$; б) $$y=x\sqrt{1-2x}$$.

а) $$y=x\sqrt{x+2}$$

Найдём производную:

$$y’=\left(x\right)’\sqrt{x+2}+x\left(\sqrt{x+2}\right)’=\sqrt{x+2}+\frac{x}{2\sqrt{x+2}}=\frac{2(x+2)+x}{2\sqrt{x+2}}=\frac{3x+4}{2\sqrt{x+2}}.$$

Область определения функции:

$$x+2\ge 0,\quad x\ge -2.$$

Так как знаменатель производной положителен при $$x>-2,$$ то знак $$y’$$ определяется числителем:

$$3x+4\ge 0,\quad x\ge -\frac{4}{3}.$$

Следовательно, функция убывает на $$(-2,-\frac{4}{3}]$$ и возрастает на $$[-\frac{4}{3},+\infty).$$

Минимум достигается при $$x=-\frac{4}{3}:$$

$$y_{\min}=y\left(-\frac{4}{3}\right)=-\frac{4}{3}\sqrt{-\frac{4}{3}+2}=-\frac{4}{3}\sqrt{\frac{2}{3}}=-\frac{4\sqrt6}{9}.$$

Сверху функция не ограничена, значит, область значений:

$$y\in\left[-\frac{4\sqrt6}{9},+\infty\right).$$

б) $$y=x\sqrt{1-2x}$$

Найдём производную:

$$y’=\left(x\right)’\sqrt{1-2x}+x\left(\sqrt{1-2x}\right)’=\sqrt{1-2x}-\frac{2x}{2\sqrt{1-2x}}=\frac{1-2x-x}{\sqrt{1-2x}}=\frac{1-3x}{\sqrt{1-2x}}.$$

Область определения функции:

$$1-2x\ge 0,\quad x\le \frac12.$$

Так как знаменатель производной положителен при $$x<\frac12,$$ то знак $$y’$$ определяется числителем:

$$1-3x\ge 0,\quad x\le \frac13.$$

Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty,\frac13]$$ и убывает на $$[\frac13,\frac12].$$

Максимум достигается при $$x=\frac13:$$

$$y_{\max}=y\left(\frac13\right)=\frac13\sqrt{1-\frac23}=\frac13\sqrt{\frac13}=\frac{\sqrt3}{9}.$$

Снизу функция не ограничена, значит, область значений:

$$y\in\left(-\infty,\frac{\sqrt3}{9}\right].$$

Ответ: а) $$y\in\left[-\frac{4\sqrt6}{9},+\infty\right);$$ б) $$y\in\left(-\infty,\frac{\sqrt3}{9}\right].$$