Упр.46.35 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Найдите область значений функции:

а) $$y=2x-\sqrt{6x-4},\quad x\in\left[\frac{1}{4};\frac{17}{4}\right]$$;

б) $$y=2\sqrt{x-1}-0{,}5x,\quad x\in[1;10]$$.

а) $$y=2x-\sqrt{16x-4}, \quad x\in\left[\frac14;\frac{17}{4}\right].$$

Найдём производную:

$$y’ = 2 — \frac{16}{2\sqrt{16x-4}} = 2 — \frac{8}{\sqrt{16x-4}}.$$

Стационарная точка:

$$2-\frac{8}{\sqrt{16x-4}}=0,$$

$$\frac{8}{\sqrt{16x-4}}=2,$$

$$\sqrt{16x-4}=4,$$

$$16x-4=16,$$

$$16x=20,\quad x=\frac54.$$

Вычислим значения функции в концах отрезка и в стационарной точке:

$$y\!\left(\frac14\right)=2\cdot\frac14-\sqrt{16\cdot\frac14-4}=\frac12,$$

$$y\!\left(\frac54\right)=2\cdot\frac54-\sqrt{16\cdot\frac54-4}=\frac52-4=-\frac32,$$

$$y\!\left(\frac{17}{4}\right)=2\cdot\frac{17}{4}-\sqrt{16\cdot\frac{17}{4}-4}=\frac{17}{2}-8=\frac12.$$

Следовательно, наибольшее значение равно $$\frac12,$$ наименьшее — $$-\frac32.$$

Значит, $$y\in\left[-\frac32;\frac12\right].$$

б) $$y=2\sqrt{x-1}-0{,}5x,\quad x\in[1;10].$$

Найдём производную:

$$y’ = 2\cdot\frac{1}{2\sqrt{x-1}}-\frac12=\frac{1}{\sqrt{x-1}}-\frac12.$$

Стационарная точка:

$$\frac{1}{\sqrt{x-1}}-\frac12=0,$$

$$\frac{1}{\sqrt{x-1}}=\frac12,$$

$$\sqrt{x-1}=2,$$

$$x-1=4,\quad x=5.$$

Вычислим значения функции в концах отрезка и в стационарной точке:

$$y(1)=2\sqrt{1-1}-0{,}5\cdot1=-\frac12,$$

$$y(5)=2\sqrt{5-1}-0{,}5\cdot5=4-\frac52=\frac32,$$

$$y(10)=2\sqrt{10-1}-0{,}5\cdot10=6-5=1.$$

Следовательно, $$y\in\left[-\frac12;\frac32\right].$$

Ответ: а) $$y\in\left[-\frac32;\frac12\right];$$ б) $$y\in\left[-\frac12;\frac32\right].$$