Упр.46.34 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Найдите наименьшее значение функции:

а) $$y=2|x|-4$$;

б) $$y=x^2-5|x|+6$$;

в) $$y=3|x|+9$$;

г) $$y=x^2-6|x|-7$$.

Рассмотрим каждую функцию по отдельности.

1. $$y=2|x|-4$$

   Так как $$|x|\ge 0$$, то наименьшее значение выражение $$2|x|$$ принимает при $$x=0$$.

   Тогда

   $$y_{\min}=2\cdot 0-4=-4.$$

2. $$y=x^2-5|x|+6$$

   Положим $$t=|x|$$, тогда $$t\ge 0$$ и $$x^2=t^2$$. Получаем

   $$y=t^2-5t+6.$$

   Это квадратный трёхчлен. Его вершина соответствует значению

   $$t=\frac{5}{2}.$$

   Тогда

   $$y_{\min}=\left(\frac{5}{2}\right)^2-5\cdot \frac{5}{2}+6=\frac{25}{4}-\frac{25}{2}+6=-\frac{1}{4}.$$

3. $$y=3|x|+9$$

   Так как $$|x|\ge 0$$, наименьшее значение достигается при $$x=0$$:

   $$y_{\min}=3\cdot 0+9=9.$$

4. $$y=x^2-6|x|-7$$

   Положим $$t=|x|$$, тогда $$t\ge 0$$ и $$x^2=t^2$$. Получаем

   $$y=t^2-6t-7.$$

   Это квадратный трёхчлен, его вершина соответствует значению

   $$t=\frac{6}{2}=3.$$

   Тогда

   $$y_{\min}=3^2-6\cdot 3-7=9-18-7=-16.$$

Ответ: а) $$-4$$; б) $$-\frac{1}{4}$$; в) $$9$$; г) $$-16$$.