Упр.46.33 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
- Найдите наибольшее значение функции:
а) $$y=\sqrt{5-x^2}+\sqrt{x}$$;
б) $$y=\sqrt{-x}+\sqrt{5-x^2}$$.
а) Рассмотрим функцию $$y=\sqrt{5-x^2}+\sqrt{x}.$$
Область определения: $$5-x^2\ge 0,\quad x\ge 0.$$
Отсюда $$0\le x\le \sqrt5.$$
Найдём производную:
$$y’=\left(\sqrt{5-x^2}\right)’+\left(\sqrt{x}\right)’=-\frac{x}{\sqrt{5-x^2}}+\frac{1}{2\sqrt{x}}.$$
Исследуем знак производной:
$$\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{x}{\sqrt{5-x^2}}\ge 0.$$
Так как на области определения знаменатели положительны, получаем
$$\sqrt{5-x^2}\ge 2x\sqrt{x}.$$
Возведём в квадрат:
$$5-x^2\ge 4x^3,$$
$$4x^3+x^2-5\le 0.$$
Проверим значение $$x=1$$:
$$4\cdot 1^3+1^2-5=0.$$
Следовательно, функция возрастает на $$[0,1]$$ и убывает на $$[1,\sqrt5].$$ Значит, наибольшее значение достигается при $$x=1.$$
$$y(1)=\sqrt{5-1}+\sqrt1=2+1=3.$$
б) Рассмотрим функцию $$y=\sqrt{-x}+\sqrt{5-x^2}.$$
Область определения: $$-x\ge 0,\quad 5-x^2\ge 0.$$
Отсюда $$-\sqrt5\le x\le 0.$$
Найдём производную:
$$y’=\left(\sqrt{-x}\right)’+\left(\sqrt{5-x^2}\right)’=-\frac{1}{2\sqrt{-x}}-\frac{x}{\sqrt{5-x^2}}.$$
Исследуем знак производной:
$$-\frac{1}{2\sqrt{-x}}-\frac{x}{\sqrt{5-x^2}}\ge 0.$$
На области определения это равносильно
$$-\sqrt{5-x^2}\ge 2x\sqrt{-x}.$$
После преобразований получаем, что производная обращается в нуль при $$x=-1,$$ а функция возрастает на $$[-\sqrt5,-1]$$ и убывает на $$[-1,0].$$
Значит, наибольшее значение достигается при $$x=-1.$$
$$y(-1)=\sqrt{-(-1)}+\sqrt{5-(-1)^2}=1+2=3.$$
Ответ: а) $$3$$; б) $$3$$.
