Упр.46.32 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Найдите наибольшее значение функции:

а) $$y=-x^8+2x^4+1$$;

б) $$y=-x^4+\frac{4}{3}x^3+\frac{2}{3}$$.

а) $$y=-x^8+2x^4+1$$

Найдём производную:

$$y’=-8x^7+8x^3=8x^3(1-x^4)=8x^3(1-x^2)(1+x^2).$$

Так как $$1+x^2>0$$ при всех $$x,$$ то знак производной определяется выражением $$x^3(1-x^2).$$

Отсюда $$y’>0$$ при $$x\le -1$$ и $$0\le x\le 1.$$ Значит, наибольшее значение функция принимает в точках $$x=\pm1.$$

Вычислим:

$$y(\pm1)=-1+2+1=2.$$

Следовательно, $$y_{\max}=2.$$

б) $$y=-x^4+\frac{4}{3}x^3+\frac{2}{3}$$

Найдём производную:

$$y’=-4x^3+4x^2=4x^2(1-x).$$

Так как $$4x^2\ge 0,$$ то $$y’>0$$ при $$x<1.$$ Значит, функция возрастает до точки $$x=1,$$ а затем убывает.

Следовательно, наибольшее значение достигается при $$x=1.$$

Вычислим:

$$y(1)=-1+\frac{4}{3}+\frac{2}{3}=1.$$

Итак, $$y_{\max}=1.$$

Ответ

а) $$2$$; б) $$1$$.