Упр.46.31 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Для функций вида $$y=\sqrt{ax^2+bx+c}$$ значение $$y$$ всегда неотрицательно, поэтому минимум возможен только при $$y=0$$, если подкоренное выражение обращается в нуль. Максимум не существует, если функция не ограничена сверху.
$$y=\sqrt{2x^2-5x+2}$$
Найдём, при каких $$x$$ подкоренное выражение равно нулю:
$$2x^2-5x+2=0$$
$$D=25-16=9$$
$$x_{1,2}=\frac{5\pm 3}{4}$$
$$x_1=\frac12,\quad x_2=2$$
Значит, $$y=0$$ при $$x=\frac12$$ и $$x=2$$, а так как $$y\ge 0$$, то
$$y_{\min}=0.$$
При больших по модулю $$x$$ функция не ограничена сверху, поэтому $$y_{\max}$$ не существует.
$$y=\sqrt{3x^2+6x+4}$$
Преобразуем подкоренное выражение:
$$3x^2+6x+4=3(x+1)^2+1$$
Так как $$3(x+1)^2\ge 0$$, то
$$3(x+1)^2+1\ge 1,$$
следовательно,
$$y\ge 1.$$
Равенство достигается при $$x=-1$$, значит
$$y_{\min}=1.$$
Сверху функция не ограничена, поэтому $$y_{\max}$$ не существует.
$$y=\sqrt{x^2+6x-7}$$
Найдём нули подкоренного выражения:
$$x^2+6x-7=0$$
$$D=36+28=64$$
$$x_{1,2}=\frac{-6\pm 8}{2}$$
$$x_1=-7,\quad x_2=1$$
Тогда $$y=0$$ при $$x=-7$$ и $$x=1$$, значит
$$y_{\min}=0.$$
Максимум не существует.
$$y=\sqrt{2x^2-2x+1}$$
Преобразуем подкоренное выражение:
$$2x^2-2x+1=2\left(x-\frac12\right)^2+\frac12$$
Так как $$2\left(x-\frac12\right)^2\ge 0$$, то
$$2x^2-2x+1\ge \frac12,$$
следовательно,
$$y\ge \sqrt{\frac12}=\frac{\sqrt2}{2}.$$
Равенство достигается при $$x=\frac12$$, значит
$$y_{\min}=\frac{\sqrt2}{2}.$$
Максимум не существует.
Ответ
а) $$y_{\min}=0,$$ $$y_{\max}$$ не существует; б) $$y_{\min}=1,$$ $$y_{\max}$$ не существует; в) $$y_{\min}=0,$$ $$y_{\max}$$ не существует; г) $$y_{\min}=\frac{\sqrt2}{2},$$ $$y_{\max}$$ не существует.
