Упр.46.30 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
- Найдите наибольшее и наименьшее значения функции: а) $$y=\sqrt{(x-5)(15-x)}$$; б) $$y=\sqrt{(2x+4)(3-x)}$$; в) $$y=\sqrt{(12-x)(x-4)}$$; г) $$y=\sqrt{(5-x)(3x+6)}$$.
Для функции вида $$y=\sqrt{f(x)}$$ всегда $$y\ge 0$$, поэтому наименьшее значение равно $$0$$, если оно достигается при допустимых значениях $$x$$. Наибольшее значение найдём по вершине соответствующего квадратичного выражения под корнем.
$$y=\sqrt{(x-5)(15-x)}=\sqrt{-x^2+20x-75}$$
Квадратичная функция $$-x^2+20x-75$$ достигает максимума при $$x=\frac{20}{2}=10$$.
Тогда
$$y_{\max}=\sqrt{(10-5)(15-10)}=\sqrt{5\cdot 5}=5.$$
На концах области определения значение функции равно $$0$$, значит $$y_{\min}=0$$.
$$y=\sqrt{(2x+4)(3-x)}=\sqrt{-2x^2+2x+12}$$
Максимум подкоренного выражения достигается при
$$x=\frac{-2}{2\cdot(-2)}=\frac12.$$
Тогда
$$y_{\max}=\sqrt{\left(2\cdot\frac12+4\right)\left(3-\frac12\right)}=\sqrt{5\cdot\frac52}=\sqrt{\frac{25}{2}}=\frac{5\sqrt2}{2}.$$
Следовательно, $$y_{\min}=0$$.
$$y=\sqrt{(12-x)(x-4)}=\sqrt{-x^2+16x-48}$$
Максимум подкоренного выражения достигается при
$$x=\frac{16}{2}=8.$$
Тогда
$$y_{\max}=\sqrt{(12-8)(8-4)}=\sqrt{4\cdot 4}=4.$$
На границах области определения функция равна нулю, значит $$y_{\min}=0$$.
$$y=\sqrt{(5-x)(3x+6)}=\sqrt{-3x^2+9x+30}$$
Максимум подкоренного выражения достигается при
$$x=\frac{9}{2\cdot 3}=\frac32.$$
Тогда
$$y_{\max}=\sqrt{\left(5-\frac32\right)\left(3\cdot\frac32+6\right)}=\sqrt{\frac72\cdot\frac{21}{2}}=\sqrt{\frac{147}{4}}=\frac{7\sqrt3}{2}.$$
Следовательно, $$y_{\min}=0$$.
Ответ: а) $$y_{\min}=0,\ y_{\max}=5$$; б) $$y_{\min}=0,\ y_{\max}=\frac{5\sqrt2}{2}$$; в) $$y_{\min}=0,\ y_{\max}=4$$; г) $$y_{\min}=0,\ y_{\max}=\frac{7\sqrt3}{2}$$.
