Упр.46.29 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Найдите те значения аргумента, при которых заданная функция достигает наименьшего значения: а) $$y=\sqrt{x^2-8x+17}$$; б) $$y=\sqrt{7(x+9)(x-6)}$$; в) $$y=\sqrt{x^2+4x+10}$$; г) $$y=\sqrt{2(x-4)(x+8)}$$.

Найдём, при каких значениях $$x$$ подкоренное выражение принимает наименьшее значение, а значит и сама функция $$y=\sqrt{\dots}$$ достигает минимума.

1. $$y=\sqrt{x^2-8x+17}$$

   Приведём квадратный трёхчлен к виду полного квадрата:

   $$x^2-8x+17=(x-4)^2+1.$$

   Минимум подкоренного выражения достигается при $$x=4$$, значит и функция принимает наименьшее значение при $$x=4$$.

2. $$y=\sqrt{7(x+9)(x-6)}$$

   Раскроем скобки:

   $$7(x+9)(x-6)=7(x^2+3x-54).$$

   Так как коэффициент при $$x^2$$ положительный, минимум квадратного трёхчлена достигается в вершине параболы:

   $$x=-\frac{3}{2}.$$

   Но для функции с корнем нужно, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным. Наименьшее значение функции достигается на границе области определения, где

   $$7(x+9)(x-6)=0.$$

   Отсюда $$x=-9$$ или $$x=6$$.

3. $$y=\sqrt{x^2+4x+10}$$

   Представим выражение под корнем в виде полного квадрата:

   $$x^2+4x+10=(x+2)^2+6.$$

   Минимум достигается при $$x=-2$$.

4. $$y=\sqrt{2(x-4)(x+8)}$$

   Раскроем скобки:

   $$2(x-4)(x+8)=2x^2+8x-64.$$

   Это квадратный трёхчлен с положительным коэффициентом при $$x^2$$, поэтому его минимум достигается в вершине:

   $$x=-\frac{8}{2\cdot 2}=-2.$$

   Но для функции с корнем наименьшее значение достигается при нулевом подкоренном выражении:

   $$2(x-4)(x+8)=0.$$

   Отсюда $$x=-8$$ или $$x=4$$.

Ответ: а) $$x=4$$; б) $$x=-9,\ 6$$; в) $$x=-2$$; г) $$x=-8,\ 4$$.