Упр.46.28 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$y=\sqrt{x-5}+\sqrt{9-x}$$
2. б) $$y=3\sqrt{x+1}+\sqrt{-x}$$
3. в) $$y=\sqrt{10-2x}+\sqrt{3x}$$
4. г) $$y=\sqrt{8-3x}+\sqrt{x}$$

Найдём точки, в которых производная функции равна нулю, и проверим, принадлежат ли они области определения.

1. а) $$y=\sqrt{x-5}+\sqrt{9-x}$$

   $$y’=\frac{1}{2\sqrt{x-5}}-\frac{1}{2\sqrt{9-x}}$$

   Для возрастания нужно:

   $$\frac{1}{2\sqrt{x-5}}-\frac{1}{2\sqrt{9-x}}\ge 0$$

   $$\frac{\sqrt{9-x}-\sqrt{x-5}}{2\sqrt{x-5}\sqrt{9-x}}\ge 0$$

   Так как знаменатель положителен на области определения, получаем:

   $$\sqrt{9-x}-\sqrt{x-5}\ge 0$$

   $$9-x\ge x-5$$

   $$14\ge 2x,\quad x\le 7$$

   Область определения:

   $$x-5\ge 0,\quad 9-x\ge 0$$

   $$5\le x\le 9$$

   Пересечение условий даёт $$x=7$$.

2. б) $$y=3\sqrt{x+1}+\sqrt{-x}$$

   $$y’=\frac{3}{2\sqrt{x+1}}-\frac{1}{2\sqrt{-x}}$$

   Для возрастания нужно:

   $$\frac{3}{2\sqrt{x+1}}-\frac{1}{2\sqrt{-x}}\ge 0$$

   $$\frac{3\sqrt{-x}-\sqrt{x+1}}{2\sqrt{x+1}\sqrt{-x}}\ge 0$$

   На области определения знаменатель положителен, значит:

   $$3\sqrt{-x}-\sqrt{x+1}\ge 0$$

   $$9(-x)\ge x+1$$

   $$-9x\ge x+1$$

   $$-10x\ge 1,\quad x\le -0{,}1$$

   Область определения:

   $$x+1\ge 0,\quad -x\ge 0$$

   $$-1\le x\le 0$$

   Пересечение условий даёт $$x=-0{,}1$$.

3. в) $$y=\sqrt{10-2x}+\sqrt{3x}$$

   $$y’=-\frac{1}{\sqrt{10-2x}}+\frac{3}{2\sqrt{3x}}$$

   Для возрастания нужно:

   $$\frac{3}{2\sqrt{3x}}-\frac{1}{\sqrt{10-2x}}\ge 0$$

   $$\frac{3\sqrt{10-2x}-2\sqrt{3x}}{2\sqrt{3x}\sqrt{10-2x}}\ge 0$$

   Следовательно,

   $$3\sqrt{10-2x}\ge 2\sqrt{3x}$$

   $$9(10-2x)\ge 4\cdot 3x$$

   $$90-18x\ge 12x$$

   $$90\ge 30x,\quad x\le 3$$

   Область определения:

   $$10-2x\ge 0,\quad 3x\ge 0$$

   $$0\le x\le 5$$

   Пересечение условий даёт $$x=3$$.

4. г) $$y=\sqrt{8-3x}+\sqrt{x}$$

   $$y’=-\frac{3}{2\sqrt{8-3x}}+\frac{1}{2\sqrt{x}}$$

   Для возрастания нужно:

   $$\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{3}{2\sqrt{8-3x}}\ge 0$$

   $$\frac{\sqrt{8-3x}-3\sqrt{x}}{2\sqrt{x}\sqrt{8-3x}}\ge 0$$

   Тогда

   $$\sqrt{8-3x}\ge 3\sqrt{x}$$

   $$8-3x\ge 9x$$

   $$8\ge 12x,\quad x\le \frac{2}{3}$$

   Область определения:

   $$8-3x\ge 0,\quad x\ge 0$$

   $$0\le x\le \frac{8}{3}$$

   Пересечение условий даёт $$x=\frac{2}{3}$$.

Ответ: а) $$7$$; б) $$-0{,}1$$; в) $$3$$; г) $$\frac{2}{3}$$.